Выбор читателей
Популярные статьи
Призма является достаточно простой геометрической объемной фигурой. Тем не менее у некоторых школьников при определении ее основных свойств возникают проблемы, причина которых, как правило, связана с неправильно используемой терминологией. В данной статье рассмотрим, какие призмы бывают, как они называются, а также подробно охарактеризуем правильную четырехугольную призму.
Изучение объемных фигур является задачей стереометрии - важной части пространственной геометрии. В стереометрии под призмой понимают такую фигуру, которая образована параллельным переносом произвольного плоского многоугольника на определенное расстояние в пространстве. Параллельный перенос предполагает такое перемещение, при котором поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости многоугольника, полностью исключен.
Вам будет интересно:
В результате описанного способа получения призмы образуется фигура, ограниченная двумя многоугольниками, имеющими одинаковые размеры, лежащими в параллельных плоскостях, и некоторым числом параллелограммов. Их количество совпадает с числом сторон (вершин) многоугольника. Одинаковые многоугольники называются основаниями призмы, а площадь их поверхности - это площадь оснований. Параллелограммы, соединяющие два основания, образуют боковую поверхность.
Поскольку рассматриваемая объемная фигура представляет собой полиэдр, то есть образована набором пересекающихся плоскостей, то она характеризуется некоторым количеством вершин, ребер и граней. Все они являются элементами призмы.
В середине XVIII века швейцарский математик Леонард Эйлер установил связь между количеством основных элементов полиэдра. Эта связь записывается следующей простой формулой:
Число ребер = число вершин + число граней - 2
Для любой призмы справедливо это равенство. Приведем пример его использования. Предположим, имеется правильная четырехугольная призма. Она изображена на рисунке ниже.
Видно, что число вершин для нее равно 8 (по 4 для каждого четырехугольного основания). Число сторон, или граней составляет 6 (2 основания и 4 боковых прямоугольника). Тогда количество ребер для нее будет равно:
Число ребер = 8 + 6 - 2 = 12
С этой классификацией важно разобраться, чтобы впоследствии не путаться в терминологии и использовать правильные формулы для вычисления, например, площади поверхности или объема фигур.
Для любой призмы произвольной формы можно выделить 4 признака, которые ее будут характеризовать. Перечислим их:
Из всех этих пунктов хотелось бы остановиться подробнее на последнем. Прямая призма также называется прямоугольной. Связано это с тем, что для нее параллелограммы являются прямоугольниками в общем случае (в некоторых случаях они могут быть квадратами).
Для примера на рисунке выше изображена пятиугольная вогнутая прямоугольная, или прямая фигура.
Основание этой призмы представляет собой правильный четырехугольник, то есть квадрат. Выше на рисунке уже было показано, как выглядит эта призма. Помимо двух квадратов, которые ее ограничивают сверху и снизу, она также включает 4 прямоугольника.
Обозначим сторону основания правильной четырехугольной призмы буквой a, длину ее бокового ребра обозначим буквой c. Эта длина также является высотой фигуры. Тогда площадь всей поверхности этой призмы выразится формулой:
S = 2*a2 + 4*a*c = 2*a*(a + 2*c)
Здесь первое слагаемое отражает вклад оснований в общую площадь, второе слагаемое - это площадь боковой поверхности.
Учитывая введенные обозначения для длин сторон, запишем формулу для объема рассматриваемой фигуры:
То есть объем вычисляется как произведение площади квадратного основания на длину бокового ребра.
Все знают эту идеальную объемную фигуру, но мало кто задумывался, что она представляет собой правильную четырехугольную призму, сторона которой равна длине стороны квадратного основания, то есть c = a.
Для куба формулы полной площади поверхности и объема примут вид:
Поскольку куб - это призма, состоящая из 6 одинаковых квадратов, то любую параллельную пару из них можно считать основанием.
Куб - это высокосимметричная фигура, которая в природе реализуется в виде кристаллических решеток многих металлических материалов и ионных кристаллов. Например, решетки золота, серебра, меди и поваренной соли являются кубическими.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
Как мы используем вашу персональную информацию:
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
В школьной программе по курсу стереометрии изучение объёмных фигур обычно начинается с простого геометрического тела - многогранника призмы. Роль её оснований выполняют 2 равных многоугольника, лежащих в параллельных плоскостях. Частным случаем является правильная четырёхугольная призма. Её основами являются 2 одинаковых правильных четырёхугольника, к которым перпендикулярны боковые стороны, имеющие форму параллелограммов (или прямоугольников, если призма не наклонная).
Правильной четырёхугольной призмой называется шестигранник, в основаниях которого находятся 2 квадрата, а боковые грани представлены прямоугольниками. Иное название для этой геометрической фигуры - прямой параллелепипед.
Рисунок, на котором изображена четырёхугольная призма, показан ниже.
На картинке также можно увидеть важнейшие элементы, из которых состоит геометрическое тело . К ним принято относить:
Иногда в задачах по геометрии можно встретить понятие сечения. Определение будет звучать так: сечение - это все точки объёмного тела, принадлежащие секущей плоскости. Сечение бывает перпендикулярным (пересекает рёбра фигуры под углом 90 градусов). Для прямоугольной призмы также рассматривается диагональное сечение (максимальное количество сечений, которых можно построить - 2), проходящее через 2 ребра и диагонали основания.
Если же сечение нарисовано так, что секущая плоскость не параллельна ни основам, ни боковым граням, в результате получается усечённая призма.
Для нахождения приведённых призматических элементов используются различные отношения и формулы. Часть из них известна из курса планиметрии (например, для нахождения площади основания призмы достаточно вспомнить формулу площади квадрата).
Чтобы определить объём призмы по формуле, необходимо знать площадь её основания и высоту:
V = Sосн·h
Так как основанием правильной четырёхгранной призмы является квадрат со стороной a, можно записать формулу в более подробном виде:
V = a²·h
Если речь идёт о кубе - правильной призме с равной длиной, шириной и высотой, объём вычисляется так:
Чтобы понять, как найти площадь боковой поверхности призмы, необходимо представить себе её развёртку.
Из чертежа видно, что боковая поверхность составлена из 4 равных прямоугольников. Её площадь вычисляется как произведение периметра основания на высоту фигуры:
Sбок = Pосн·h
С учётом того, что периметр квадрата равен P = 4a, формула принимает вид:
Sбок = 4a·h
Для куба:
Sбок = 4a²
Для вычисления площади полной поверхности призмы нужно к боковой площади прибавить 2 площади оснований:
Sполн = Sбок + 2Sосн
Применительно к четырёхугольной правильной призме формула имеет вид:
Sполн = 4a·h + 2a²
Для площади поверхности куба:
Sполн = 6a²
Зная объём или площадь поверхности, можно вычислить отдельные элементы геометрического тела.
Часто встречаются задачи, в которых дан объём или известна величина боковой площади поверхности, где необходимо определить длину стороны основания или высоту. В таких случаях формулы можно вывести:
Чтобы определить, какую площадь имеет диагональное сечение, необходимо знать длину диагонали и высоту фигуры. Для квадрата d = a√2. Из этого следует:
Sдиаг = ah√2
Для вычисления диагонали призмы используется формула:
dприз = √(2a² + h²)
Чтобы понять, как применять приведённые соотношения, можно попрактиковаться и решить несколько несложных заданий.
Вот несколько заданий, встречающихся в государственных итоговых экзаменах по математике.
Задание 1.
В коробку, имеющую форму правильной четырёхугольной призмы, насыпан песок. Высота его уровня составляет 10 см. Каким станет уровень песка, если переместить его в ёмкость такой же формы, но с длиной основания в 2 раза больше?
Следует рассуждать следующим образом. Количество песка в первой и второй ёмкости не изменялось, т. е. его объём в них совпадает. Можно обозначить длину основания за a . В таком случае для первой коробки объём вещества составит:
V₁ = ha² = 10a²
Для второй коробки длина основания составляет 2a , но неизвестна высота уровня песка:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Поскольку V₁ = V₂ , можно приравнять выражения:
10a² = 4ha²
После сокращения обеих частей уравнения на a² получается:
В результате новый уровень песка составит h = 10 / 4 = 2,5 см.
Задание 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильная призма. Известно, что BD = AB₁ = 6√2. Найти площадь полной поверхности тела.
Чтобы было проще понять, какие именно элементы известны, можно изобразить фигуру.
Поскольку речь идёт о правильной призме, можно сделать вывод, что в основании находится квадрат с диагональю 6√2. Диагональ боковой грани имеет такую же величину, следовательно, боковая грань тоже имеет форму квадрата, равного основанию. Получается, что все три измерения - длина, ширина и высота - равны. Можно сделать вывод, что ABCDA₁B₁C₁D₁ является кубом.
Длина любого ребра определяется через известную диагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площадь полной поверхности находится по формуле для куба:
Sполн = 6a² = 6·6² = 216
Задание 3.
В комнате производится ремонт. Известно, что её пол имеет форму квадрата с площадью 9 м². Высота помещения составляет 2,5 м. Какова наименьшая стоимость оклейки комнаты обоями, если 1 м² стоит 50 рублей?
Поскольку пол и потолок являются квадратами, т. е. правильными четырёхугольниками, и стены её перпендикулярны горизонтальным поверхностям, можно сделать вывод, что она является правильной призмой. Необходимо определить площадь её боковой поверхности.
Длина комнаты составляет a = √9 = 3 м.
Обоями будет оклеена площадь Sбок = 4·3·2,5 = 30 м² .
Наименьшая стоимость обоев для этой комнаты составит 50·30 = 1500 рублей.
Таким образом, для решения задач на прямоугольную призму достаточно уметь вычислять площадь и периметр квадрата и прямоугольника, а также владеть формулами для нахождения объёма и площади поверхности.
Определение .
Это шестигранник, основаниями которого являются два равных квадрата, а боковые грани представляют собой равные прямоугольники
Боковое ребро - это общая сторона двух смежных боковых граней
Высота призмы - это отрезок, перпендикулярный основаниям призмы
Диагональ призмы - отрезок, соединяющий две вершины оснований, которые не принадлежат к одной грани
Диагональная плоскость - плоскость, которая проходит через диагональ призмы и ее боковые ребра
Диагональное сечение - границы пересечения призмы и диагональной плоскости. Диагональное сечение правильной четырехугольной призмы представляет собой прямоугольник
Перпендикулярное сечение (ортогональное сечение) - это пересечение призмы и плоскости, проведенной перпендикулярно ее боковым ребрам
На рисунке изображены две правильные четырехугольные призмы, у которых обозначены соответствующими буквами:
Правильная призма - призма в основании которой лежит правильный многоугольник, а боковые ребра перпендикулярны плоскостям основания. То есть правильная четырехугольная призма содержит в своем основании квадрат . (см. выше свойства правильной четырехугольной призмы) Примечание . Это часть урока с задачами по геометрии (раздел стереометрия - призма). Здесь размещены задачи, которые вызывают трудности при решении. Если Вам необходимо решить задачу по геометрии, которой здесь нет - пишите об этом в форуме . Для обозначения действия извлечения квадратного корня в решениях задач используется символ √ .
Решение
.
Правильный четырехугольник - это квадрат.
Соответственно, сторона основания будет равна
Диагональ правильной призмы образует с диагональю основания и высотой призмы прямоугольный треугольник. Соответственно, по теореме Пифагора диагональ заданной правильной четырехугольной призмы будет равна:
√((12√2) 2
+ 14 2
) = 22 см
Ответ : 22 см
Решение
.
Поскольку в основании правильной четырехугольной призмы лежит квадрат, то сторону основания (обозначим как a) найдем по теореме Пифагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Высота боковой грани (обозначим как h) тогда будет равна:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площадь полной поверхности будет равна сумме площади боковой поверхности и удвоенной площади основания
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Ответ : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Статьи по теме: | |
Спаривание богомолов Самка богомола откусывает голову самцу
У самок богомола есть привычка убивать и есть своих партнеров во время... Как муравьи выращивают детей из яиц
В природе существует более 110 видов муравьёв-жнецов, из них 5 видов... Славка ястребиная Питание птицы славки
ОТРЯД ВОРОБЬИНООБРАЗНЫХ (Passeriformes) СЕМЕЙСТВО СЛАВКОВЫХ (Sylviidae)... |